Только недавно закончил университет и устроился на работу в бюджетную организацию. И тут узнал, что...

Здравствуйте, Андрей. В данном случае идет речь об увольнении в связи с призывом в армию. Согласно ч. 1 п.1 ст. 83 ТК РФ в связи с призывом на военную службу происходит прекращение действия трудового договора. Так как вы до призыва работали в бюджетной организации, то вам гарантируется сохранение права поступления на работу в ту же организацию на должность не ниже, занимаемой ранее. Это право будет сохранено за вами в течение 3 месяцев после увольнения с военной службы. Об этом сказано в п. 5 ст. 23 Федерального закона «О статусе военнослужащих» от 27.05.1998 №76-ФЗ
При этом граждане, которые приняты в течение года на прежнее рабочее место впервые после увольнения с военной службы, могут рассчитывать на материальную помощь на первоначальное обзаведение хозяйством (см. Постановление Правительства РФ от 25.11.1998 №1394.
Главное, чтобы ваше руководство понимало, что в данном случае будет увольнение в связи с призывом в армию, а не по собственному желанию. Именно такую причину вы должны будете указать в вашем заявлении, и именно такая причина должна быть указана и в вашей трудовой книжке.
Период службы по контракту включается в общую трудовую выслугу и в опыт госслужбы, а также в период работы по специальности. Расчет в этом случае будет осуществляться исходя из того, что один день службы равен одному дню труда. А вот при службе по призыву – один день будет равен двум дням работы.
По поводу сроков готовности нигде в законодательстве ничего не прописано. Главное, чтобы у вас не был последним рабочим днем день вашего прибытия на призывной пункт. А там уже вы с работодателем должны решить самостоятельно, какой у вас день будет последним рабочим.